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巧列方程解决数学问题的探索

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作者:代写论文  来源:星论文网  发布时间:2012-06-25 13:18:00

  方程是一种用逆向思维解答实际问题的方法,它对丰富学生解决问题的策略、提高解决问题的能力、发展数学素养有着非常重要的意义。在实际教学活动中,为了追求好的“成绩”,许多教师一味灌输用“算术方法”解答问题,忽视了用方程知识解决问题的能力的培养,更谈不上探索解题的技巧了,严重阻碍学生全面、持续地发展,而且严重影响了学生后续(初中)对方程知识的学习。因此,加强“列方程策略解题”研究显得至关重要,下面,笔者谈谈自己的观点与做法。
  一、巧解“鸡兔同笼”问题
  我国古代(约1500年前)的数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣味题(“鸡兔同笼”问题)。学生在列方程解题的过程中,虽然能从不同角度列出方程,但缺乏解法对比、引导与归纳,出现解方程思维障碍现象(移项问题或负数问题)。此时,教师要善于引导学生发现规律,并进行解法点拨。例:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?思路分析与点拨:假设有x只鸡,那么就有(35—x)只兔。依据“鸡兔共有94只脚”等量关系,可列出方程:2x+4(35-x)=94,即2x+140-4x=94,等式左边(2x-4x)与右边(94-140)出现负数,运用小学所掌握的知识很难求出x的值。假设有x只兔,那么就有(35-x)只鸡。依据“鸡兔共有94只脚”等量关系,可列出方程:4x+2(35-x)=94,即4x+70-2x=94,等式左边(4x-2x)和右边(94-70)都是正数,运用小学所掌握的知识即可求出2x=24即x=12(兔的只数),鸡的只数:35-12=23(只)。为了促使解方程的思维畅通,避免解题走弯路,可以直接假设动物脚的只数比较多(兔子的脚比鸡的脚多)的为x值。
  二、巧解“分数”问题
  图解法是解答“分数或百分数”问题最常用的数学思维方法。大部分稍复杂分数或百分数问题通过画线段图变抽象为具体,并且借助线段图很容易寻找出问题与分率(单位“1”已知的题型)或已知量与分率(单位“1”未知且是所求问题的题型)的对应关系,从而实现用“算术法”解题的目的。在解答分数或百分数的过程中,若遇到难以画线段图或画线段图难于寻找到量(问题)与率的对应关系,不妨换个角度思考即采用列方程策略解答问题,可以达到“柳暗花明又一村”的效果。例:小明和小亮各有一些玻璃球,小亮的个数比小明少。若把小明个数的给小亮,小亮的个数就比小明多2个。小明原有玻璃球多少个?思路分析与点拨:从“小亮的个数比小明少”和“若把小明个数的给小亮”中,可以看出这两句只带分率不带单位的语句都是“分数”问题的关键句,又从“比小明少”和“占小明个数的”中,可以断定都是把小明看做“单位1”,且单位1”是所求的问题。因此,可以直接假设小明原有玻璃球x个,那么小亮原有玻璃球就有(1-)x个即x个,小明给小亮的个数就有x个,依据“小亮的个数就比小明多2个”关系句,找出等量关系式即“现有小亮的个数-现有小明的个数=2个”,并列出方程:(x+x)-(x-x)=2即:x+x-x=2;依据乘法分配率逆运算“(+-)x”可以很快求出“x=24”,即小明原有玻璃球24个。
  三、巧解“平面几何”问题
  将不规则的图形分割转化成几个基本的规则图形,分别计算它们的面积,相加或相减(相加与相减混合)求出不规则图形的面积是解答“平面几何”问题常用的数学思维方法。平移法、割补法、替代法与转化法是求不规则图形的面积常采用的解题方法。大部分几何图形,按照常规方法或特殊方法都能找到解题策略。然而,有个别“平面几何”问题解答时需另辟蹊径,采用列方程策略解答问题,才能达到解题目的。如:用五个相同的长方形拼成右图,经测量,这个大长方形的周长是88厘米,这个图形的面积是多少平方厘米?思路分析与点拨:设小长方形的宽为x厘米,那么小长方形的长就有x,依据“大长方形的周长是88厘米”等量关系,可列出方程:(4x+x)×2=88即4x+x=44,再依据乘法分配率逆运算可求出“x=8”的值;则可求出大长方形的长:3x=3×8=24厘米,大长方形的宽:x+x=8+×8=20厘米,那么大长方形的面积为24×20=480平方厘米。为了拓宽解题思路,也可以设小长方形的长为x厘米,那么小长方形的宽就有x厘米,依据“大长方形的周长是88厘米”等量关系,可列出方程:(3x+x)×2=88即3x+x=44,依据乘法分配律(逆运算),可求出“x=12”;则可求出大长方形的长:12×2=24厘米,大长方形的宽:12×+12=20厘米,大长方形的面积:24×20=480厘米。
  四、巧解“立体几何”问题
  有些“立体几何”问题的数量关系比较复杂、抽象,若用常规思维习惯(算术方法解)解题,常出现解题很困难甚至无法解答。这时,如果我们改变一下思路,采用方程求解的思想求有关图形的体积,就会得到事半功倍的效果。如图1-1所示,有一块长方形铁皮,利用图中阴影部分刚好能做成一个油箱,求油箱的容积(接头处忽略不计)。思路分析与点拨:解答此题所需要的条件(半径与高)隐藏在图文并茂中,解答的关键是用字母代替题中的未知数,找出已知数与未知数间的相等关系列方程。解:设油桶半径为r cm,则高为4r cm。依图意可列方程并求解:2πr+2r=16.56,r×(2+2π)=16.56,r×8.28=16.56,r=2,4r=8。可求油桶的容积:3.14×22×8=100.48cm3。如果把此题的已知条件(能做成一个有盖有底的油箱)改为能做成一个无盖的油箱,如图1-2所示,同理(“方程”求解法)依图意可列方程:2πr+2r=16.56,求得:半径r=2,油桶的高2r=4,油桶的容积:3.14×22×4=50.24cm3。
  
  五、巧解“比例”问题
  应用正、反比例知识解决问题的常规方法:一、找。读题理解题意,并寻找出两组对应的数据(正比例题型中一般会出现“照这样计算或照这样的速度等”,反比例题型中一般会出现“原来怎么样,现在怎么样”);二、判。写出两种相关联的量与不变量的关系式,若是比值(商)一定则两种相关联的量成正比例,若是积一定则两种相关联的量成反比例;三、列。假设未知数为x,根据正或反比例的意义列出方程;四、算。解方程,检验并写答语。大部分“比例”问题通常按照常规步骤都能很快求出答案。然而,有部分“比例”问题出现“第二组数据没对应”现象,此时直接假设题中问题为未知数x的值解答很难达到解题的目的,必须寻找巧设问题列方程解答途径。如:工厂原计划每天生产零件120个,45天完成,实际每天多生产30个,这样可以提前几天完成?(用比例解答)思路分析与点拨:此题的问题(提前的天数)与条件(每天多生产的个数)没对应数据,若直接假设提前天数为未知数x,很难找到提前天数所对应的生产零件的个数,解题时应把问句中“提前”删改为:“这样可以几天完成”(实际生产天数),再找出与实际生产天数相对应的实际每天生产零件的个数(120+30=150)。解:设这样可以x天完成。因为:工作效率×工作时间=工作总量,工作总量一定也就是工作效率与工作时间的积一定;所以工作效率和工作时间成反比例。依据“工作总量一定”,可列出方程:(120+30)x=120×45,并求出“x=36”和提前天数45-36=9(天)。同理,若出现问句中求增加部分,解题时应把问句中“增加”(多)或“比……多”文字删掉,假设实际部分为未知数x。
  六、巧解“钱数”问题
  对于求两个或两个以上未知数的应用题,有些题目按照常规解法(假设一个未知数为x)是无法达到解题目的的。此时,可以采用“消元法”解决问题,即假设两个未知数分别为a和b,并根据等量关系列出两个方程,先设法消去一个未知数使其剩下一个未知数,最后再求出消去的那个未知数。如:小明、小华两人各带了若干钱,如果小明得到小华所有钱的,那么小明共有钱60元。如果小华得到小明所有钱的,那么小华也共有钱60元。小明、小华两人各带了多少元钱?思路分析与点拨:设小明带有钱a元,小华带有钱b元。依据题意可列出方程式:①a+b=60,②a+b=60。若将①式中的各数都扩大2倍,将②式中的各数都扩大3倍,它们就会变成:③2a+b=120,④2a+3b=180。再用“消元法”(用④式减去③式)消去一个未知数——小明的钱数,可求得小华的钱数:2b=60即b=30,把b=30值代入①式中,可列出求小明钱数的方程式:a+×30=60,并求出a=45。若将①式中的各数都扩大6倍,将②式中的各数都扩大3倍,它们就会变成:③6a+3b=360,④2a+3b=180。再用“消元法”(用③式减去④式)消去一个未知数——小华的钱数,可求得小明的钱数:4a=180即a=45,把a=45代入①式中,可列出求小华钱数的方程式:45+b=60,并求出b=30。
  总之,遇到难于解决的数学问题时,可指导学生尝试运用“列方程的策略”解决问题,不但能使学生茅塞顿开、轻松破题,并为今后解答抽象、繁难问题打下良好的基础,而且能提高学生灵活运用知识解决实际问题的能力。


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