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判定多元椭球面的充要条件及椭球体的体积算法

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作者:原作原创  来源:网络转载  发布时间:2018-03-22 09:33:00

 【摘要】假定n元二次曲面是判定多元椭球的充要条件,也是计算与之相对应的n维椭球体积的公式,那么在推导判定条件和体积计算时,只需要用曲面系数行列式,这样处理,判定椭球面和计算椭球体积更简易. 

  【关键词】二次曲面;欧拉函数;椭球体积
一、问题提出
根据解析几何可知二次曲线在2维坐标系上显示的图形为封闭图形的只有椭圆,由此可推导出二次曲面在3维坐标系上显示的椭球面也是封闭图形.本文要讨论的是多元二次曲面是否是判定椭球面的充要条件,此外,还将探讨与其相对应的n维椭球体的体积的计算方法,为了证实用二次曲面的系数行列式是否能让判定与计算更为简捷,特做此研究.
二、定 理
设x=(x1,…,xn)T∈Rn,A=(aij)∈Rn×n,b=(b1,…,bn)T∈Rn,c∈R,那么,n元二次曲面方程为f(x)=xTAx+2bTx+c=0,方程中的A,即为对称矩阵,也就是这个二次曲面的二次项系数矩阵.
如果记A~=cbTbA,那么f(x)表示就可以相对简化,即可以表示为f(x)=(1 αT)A~(1 αT)T,A~则为这个二次曲面的系数矩阵.
定理1 有n维球面可表示为x21+x22+x23+…+x2n=r2,这个球面围成的球体的体积是V=πn2rnΓn2+1,公式中的Γn2+1是欧拉函数.
定理2 n维的椭球面可表示为λ1x21+λ2x22+…+λnx2n=r(r,λi>0),这个椭球面围成的椭球体的体积可以用定理1推导,即为V=πn2Γn2+1·rnλ1λ2…λn.
证明 如果D可逆,就有detABCD=detD·det(A-BD-1C).
如果A是实对称矩阵,那么也就有正交矩阵P=(p1,p2,…,pn),能让PTAP=diag(λ1,λ2,…,λn),此式中的pi是实对称矩阵关于特征值λi的向量.
三、判定椭球面的充要条件
A为定性矩阵,同时它的定性与detA~detA符号相反,n元的二次曲面f(x)=xTAx+2bTx+c=0就能表示椭球表面,而此椭球的体积为
V=ππ2Γn2+1·|detA~|n|detA|n+1.
前面已经提到A为实对称矩阵,则会有正交矩阵P=(p1,p2,…,pn),可让
PTAP=diag(λ1λ2,…,λn),做正交变换x=Py,那么
f(x)=xTAx+2bT+c=(Py)TA(Py)+2bT(Py)+c
=yTdiag(λ1,…,λn)y+2bT(p1,p2,…,pn)y+c
=∑ni=1λiy2i+2∑ni=1bTpiyi+c
=∑λiyi+bTpiλi2+c-∑i=1(bTpi)2λi.
由detA~=detcbTbA=detA·det[c-(bTA-1)]
=detA[c-(bTA-1b)]
=detAc-∑ni=1(bTpi)2λi,
∴f(x)=xTAx+2bTx+c=∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA~detA.
A为定性矩阵,当它的定性与detA~detA符号相反,那么λi同号,则与detA~detA异号.
由此得∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA~detA=0,由定理2知此椭球面所围的n维橢球体的体积为
V=ππ2Γn2+1·-detA~detAnλ1λ2…λn.
由detA=λ1λ2…λn,则有
V=ππ2Γn2+1·-detA~detAdetA
=πn2Γn2+1·|detA~||detA|n+12.
由x=Py为正交变换,那么f(x)=xTAx+2bTx+c=0也能表示n维椭球面,此椭球的体积计算公式为
V=πn2Γn2+1·|detA~||detA|n+1.
【参考文献】
[1]周明.特列旋转二次曲面的性质[J].上饶师范学院学报,2014(6):11-14.
[2]汤宇.二次曲线(面)所围图形的面(体)积[J].长春师范学院学报,2013(2):4-6.
[3]赵虹.二次曲面所围封闭图形的体积[J].大学数学,2013(6):138-140.
 

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